2023年河北省保定市高碑店市中考数学模拟试卷（含解析）

2023年河北省保定市高碑店市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式中，与相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  小华将一张如图所示的矩形纸片沿对角线剪开，他利用所得的两个直角三角形进行图形变换，构成了下列四个图形，这四个图形中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将化为最简得到，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  从某个方向上看如图所示的几何体，若得到的视图是图，则这个方向是(    )

A. 上面 B. 左面 C. 上面或正面 D. 左面或正面

7.  下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号所代表的内容，则下列回答错误的是(    )

A. 代表 B. 代表 C. 代表 D. 代表

8.  将的计算结果用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西方向上，则河宽的长为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.  有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是(    )

 

A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出个球
B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球
C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出个球
D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球

11.  如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形阴影部分，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  分式的值可能等于(    )

A.  B.  C.  D.

13.  如图，四边形中，与不平行，，分别是、的中点，，，则的长可能是(    )

A.
B.
C.
D.

14.  已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

15.  如图，是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧以下是甲乙丙三种不同的作法：作法正确的个数是(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

16.  如图，把两块全等的直角三角板和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，经过点，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点逆时针旋转，旋转角为其中设射线与射线相交于点，线段与线段相交于点给出下面三个结论：∽；的值不变，为；当时，设，两块三角板重叠部分的面积为．
其中正确的是(    )

A. 只有与 B. 只有与 C. 只有与 D.

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17.  若单项式与的和是单项式，则 ______ ．

18.  如图，用铁丝折成一个四边形点在直线的上方，且，，若使、平分线的夹角的度数为，可保持不变，将 ______填“增大”或“减小” ______

19.  如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为，连接，．
该反比例函数的解析式为______ ；
当的面积为时，点的坐标为______ ．
在的情况下，直线过线段上一点，的取值范围为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
已知．
若，，，求的值；
若，，，且，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出解集．

21.  本小题分
定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数，因为，所以是“半和数”．
判断是否为“半和数”，并说明理由；
小林列举了几个“半和数”：、、、，并且她发现：，，，，所以她猜测任意一个“半和数”都能被整除小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若不正确，说明理由．

22.  本小题分
一枚质地均匀的正方体骰子如图，六个面分别刻有，，，，，个点，，，，，五名学生，每人随机投掷这枚骰子次，投掷结束后，将每次掷出的骰子朝上面的点数求和根据他们各自累积求和的结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图．

同学连续投掷五次正方体骰子，掷得点数为的频率为，求他这五次投掷的点数不考虑投掷顺序；
已知这五名学生各自累积求和的结果的平均数为，
补全条形统计图；
若同学五次投掷的点数中，唯一众数是且不为中位数，求同学五次投掷的点数的中位数．

23.  本小题分
如图，抛物线经过点，，，点的坐标为．
求抛物线的解析式和顶点坐标；
当时，求的最大值与最小值的差；
若点的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出的取值范围．

24.  本小题分
如图，点在射线上，，以点为圆心，长为半径作半圆，交于点点在上，点在射线上，且，作射线交于点．
若为半圆的切线，求的度数；
连接，若，求证：；
若的长为，求的长．

25.  本小题分
某超市经营的和两种啇品的信息如下：

已知今年月这四个月销售和共千克，获得利润共元，比多销售了千克，的销售单价比的销售单价多元千克，求这四个月销售，各多少千克、销售单价各是多少元千克利润售价进价
根据之前的销售情况，的新品月上市，月底要进月要卖的货时，发现的进价下降到元箱，超市为了保持与之前相同的利润，所以将的售价也下调了、的新品月才能上市，进价没有改变，超市保持售价也不变，估计今年月到月这五个月，还能销售和共千克，其中，的销售量不低于千克假设这五个月，销售了千克，销售和获得的总利润为元、求出与之间的函数关系式，并求这五个月最多可获得总利润多少元．

26.  本小题分
如图，矩形中，，，点在射线上运动可与点重合，的中点为，将绕点顺时针旋转得到，再以，为一组邻边作矩形．
当点为的中点时，点到直线的距离为______；
当点落在矩形的边或边所在的直线上时，求的长；
点在线段可与点，重合上运动时，直接写出线段的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
故选：．
根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：边对应刻度是，边对应的刻度是，
．
故选：．
先找出这个角两边所对应的度数，然后相减即可求解．
本题考查了角的度量，找到角两边对应的刻度值是求解的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除法运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、只是中心对称图形，不是轴对称图形，
B、、都轴对称．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，分析各图形的特征求解．
本题考查了图形的剪拼以及中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，
．
故选：．
由二次根式的性质、二次根式的减法运算法则进行计算，即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质、二次根式的减法运算，解题的关键是掌握运算法则，正确地进行解题．
 

6.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，从某个方向上看如图所示的几何体，若得到的视图是图，则这个方向是左面或正面．
故选：．
主视图是从物体的正面看得到的视图；左视图是从物体的左面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图．
本题考查了由三视图判断几何体，利用三视图的定义是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，，
，
代表，代表，代表，代表，
选项错误，故该选项符合题意．
故选：．
根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得，然后根据垂直定义可得，最后利用等角的余角相等即可解答．
本题考查了垂线的意义、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握等角的余角相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：


，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，，
由题意得，，，米，
，
，
故选：．
连接，，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，
此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球．
故选：．
根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后不放回，再随机摸出个球．
此题考查了用树状图法求概率的知识．注意掌握试验是放回实验还是不放回实验．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：正六边形的面积，
故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积；
故选：．
由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．
本题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
故选项A不符合题意；
，则，存在，故选项B符合题意；
，则，此时原式无意义，故选项C不符合题意；
，则，此时原式无意义，故选项D不符合题意；
故选：．
首先化简分式，进而利用分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了分式的乘除，正确化简分式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，取的中点，连接、，
是的中点，是的中点，
，
同理，，
在中，，即，
的长可能是，
故选：．
连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据三角形的三边关系解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由数轴看出，，
是关于的一元二次方程，
，
，，
，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等实数根．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：甲、由作图可知平分，
，
，故甲的方法正确．
乙、由作图可知平分，
，
，
经过圆心，
，故乙的方法正确．
丙、由作图可知垂直平分线段，经过圆心，
，故丙的方法正确．
故选：．
根据垂径定理，圆周角定理一一判断即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆与外心，垂径定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：和为全等的等腰直角三角形，
，，
，
当，如图，

，即，
，
而，
∽，
：：，
，
当，如图，

同样方法得到∽，则：：，
，
、正确；
如图，作于，交于，则，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
即当时，设，两块三角板重叠面积为，所以正确．
故选：．
利用等腰直角三角形的性质得，，则，讨论：当，如图，利用三角形外角性质可证明，加上，则根据相似三角形的判定方法可判断∽，利用相似比可得，当，如图，利用同样方法可证明∽，同样得到，于是可对、进行判断；如图，作于，交于，由得到，则，证明∽，利用相似比可表示出，所以，根据三角形面积公式得到，则可对进行判断．
本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质；会灵活应用相似三角形的判定与性质．利用三角形面积公式，用表示出是判断是否正确的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：单项式与的和是单项式，
单项式与是同类项，
，，
解得，，
，
故答案为：．
根据单项式与的和是单项式，可知单项式与是同类项，从而可以求得、的值，然后再计算即可．
本题考查整式的加减、同类项，解答本题的关键是明确同类项的定义，求出、的值．
 

18.【答案】增大   

【解析】解：如图，连接并延长，，
，
，
，分别是、平分线，
，
同上可得，，
，
增大了．
故答案为：增大，．
连接并延长，根据角平分线的定义求出，进一步得到，依此计算即可求解．
本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质、角平分线的定义是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，即，
反比例函数的解析式为；
点在的图象上，
，
又，
，
，
点的坐标为；
将、分别代入，
解得，
的取值范围为．
故答案为：，，．
根据待定系数法直接代入求解即可；
利用代入法直接可得到、的关系，然后根据三角形的面积表示出、即可得到的坐标；
通过代入法求出的两个值，然后根据动点确定的范围．
本题考查反比例函数的解析式、利用一次函数写比例系数的取值范围、利用三角形的面积列方程是关键．方程思想是常用的解题思路．
 

20.【答案】解：，，，




；
由题意得，

，
，

，
在数轴上表示如图所示：
 

【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义即可求得、、的值，再代入即可；
根据题意求得，即得出关于的不等式，再在数轴上表示出来即可．
本题考查零指数幂、负整数指数幂、绝对的意义，代数式的求值，整式的减法，以及解不等式并在数轴上表示出来，掌握新运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：的百位数字为，十位数字为，个位数字为，且，
是“半和数”；
小林的猜想正确．
理由：设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为均为整数，且不为，
则这个“半和数”用含，的代数式表示为：，
，均为整数，
为整数，
是的倍数，
任意一个“半和数”都能被整除．
故小林的猜想正确． 

【解析】根据“半和数”的定义确定出所求即可；
设一个“半和数”的百位数字为，个位数字为均为整数，且不为，表示出这个“半和数”，即可作出判断．
本题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

22.【答案】解：因为同学掷点数为的次数为：次，
而同学次所掷点数的和为，
所以同学这次所掷的点数为：、、、、，
故答案为：、、、、；
设同学五次投掷的结果点数之和为，
由题意可得：，
解得：，
补全条形统计图如图：

同学五次投掷的结果点数中，唯一众数是且不为中位数，
同学五次投掷的结果点数分别是：、、、、、
同学五次投掷结果点数的中位数是：． 

【解析】求出同学掷点数为的次数，进而确定这次所掷的点数；
求出同学次所掷点数的和，即可补全统计图；
根据众数和中位数的概念求解．
本题考查了条形统计图，众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：将点代入，
，
解得，
，
，
顶点为；
当时，，
当时，的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为；
线段向上平移个单位得到线段，
，，
当在抛物线上时，，
解得，
时，线段与抛物线只有一个交点；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
当时，，
，解得，
当时，线段与抛物线只有一个交点；
综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点． 

【解析】将点代入，可求函数的解析式及顶点坐标；
当时，的最大值为，最小值为，即可求解；
由题意可求，，当在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则时，线段与抛物线只有一个交点；求出平移后直线的解析式，当直线与抛物线有一个交点时，求出的值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】解：若为半圆的切线，
，
，
，
；
连接，如图，

，
．
，
．
，
，
．
在和中，
，
≌，
；
设，
若的长为，
，
．
．
，
为等边三角形，
．
，
．
，
．
，
是以的直角三角形，
． 

【解析】利用圆的切线的性质定理和等腰直角三角形的性质解答即可；
利用全等三角形的判定与性质解答即可；
利用圆的弧长公式求得圆心角的度数，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，圆的弧长公式，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：设销售为千克，则销售为千克，
根据题意列方程得：，
解得：，
则千克，
商品的成本：元千克，商品的成本：元千克，
设的销售单价为元千克，则的销售单价为元千克，
根据题意得：，
解得：，
则元千克，
答：销售为千克，销售为千克，的销售单价为元千克，的销售单价为元千克；
根据题意可知，商品和之前的利润相同，商品也保持不变，
则，
整理得：，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，
综上所述：与之间的函数关系式为：，这五个月最多可获得总利润为元． 

【解析】先设销售为千克，根据题意列出方程，解出的值即可，然后算出、每千克的成本，设的销售单价为元千克，根据题中获得利润元列出方程，解出的值即可；
根据题意可知与商品每千克的利润都不发生变化，则可列出：，整理即可得函数关系式，注意自变量的取值范围，再根据一次函数的性质即可得获利最大值．
本题考查主要是一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题关键：一是找出题中的等量关系列方程，二是利用函数的增减性求最值．
 

26.【答案】 

【解析】解：过点作于，则，
，
四边形是矩形，
，，，
点为的中点，
，
为的中点，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
∽，
，
，
即点到直线的距离为，
故答案为：；
分三种情况：
如图，当点落在直线上时，
同得：∽，
，
；
如图，当点在直线上时，
同得：∽，
，
，
；
如图，落在延长线上，；
综上所述，的长为或或；
过点作于，
如图所示：
则，
由可知，∽，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
当时，的值最小，
的最小值为．
过点作于，证明∽，得，求出的长即可；
分三种情况，当点落在直线上时，同得∽，则，得；
当点在直线上时，同得∽，则，得，即可得出的长；
落在延长线上，；即可得出结论；
过点作于，由可知，∽，得，则，，得，再由勾股定理得，然后由二次函数的性质即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、最小值以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．